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가장 중요한 과학적 발견
페르마의 마지막 정리. 과학적 발견의 역사와 본질
피에르 드 페르마(Pierre de Fermat)의 사망 기사 중 한 명은 다음과 같이 말했습니다. 우리의 추도사에서 그 어떤 것도 놓치지 않기 위해 말해야 할 그 사람에 대해 말해야 합니다." 불행히도 위대한 과학자의 삶에 대해 알려진 것은 많지 않습니다. 피에르 페르마 (1601-1665)는 그의 아버지 Dominique Fermat가 "두 번째 영사", 즉 시장 조수였던 Beaumont-de-Lomagne의 작은 마을에서 프랑스 남부에서 태어났습니다. Dominique Fermat는 그의 아들에게 매우 견고한 교육을 제공했습니다. 그의 고향 도시의 대학에서 Pierre는 라틴어, 그리스어, 스페인어, 이탈리아어와 같은 언어에 대한 훌륭한 지식을 습득했습니다. 이후 그는 라틴어, 프랑스어, 스페인어로 시를 썼다. 페르마는 고대의 훌륭한 감정가로 유명했으며 그리스 고전 판에서 어려운 장소에 대해 조언을 받았습니다. 그러나 Pierre는 그의 천재성의 모든 힘을 수학적 연구에 쏟았습니다. 그러나 수학은 그의 직업이 되지 못했습니다. 그 시대의 과학자들은 자신이 사랑하는 과학에 전적으로 전념할 기회가 없었습니다. 농장은 법학을 선택합니다. 올리언스에서 그에게 학사 학위가 수여되었습니다. 1630년 이래로 페르마는 툴루즈로 이사하여 의회(즉, 법원)의 고문 자리를 받았습니다. 그의 법률 활동에 대해서는 “당대 최고의 변호사로 이름을 날릴 만큼 성실함과 실력을 겸비했다”고 칭찬할 만하다. 페르마의 생애 동안 그의 수학적 연구는 주로 다른 과학자들과의 광범위한 서신을 통해 알려지게 되었습니다. 그가 반복해서 쓰려고 했던 수집된 작품들은 결코 그가 만든 것이 아니다. 예, 법정에서 그가 수행해야 하는 힘든 일을 고려할 때 이것은 놀라운 일이 아닙니다. 그의 생애 동안 그의 저술은 출판되지 않았으나 몇몇 논문은 완전히 완성된 모습을 보여 대부분의 동시대 학자들에게 필사본으로 알려지게 되었습니다. 이러한 논문 외에도 그의 광범위하고 매우 흥미로운 서신이 남아 있습니다. 특별한 과학 잡지가 없던 XNUMX세기에는 과학자들 간의 서신이 특별한 역할을 했습니다. 과제를 설정하고 해결 방법을 보고하고 심각한 과학적 문제에 대해 논의했습니다. 페르마의 특파원은 당대 최고의 과학자였습니다. 데카르트, 에티엔 파스칼 및 블레이즈 파스칼, 드 비시, 호이겐스, Torricelli, Vallis. 편지는 특파원에게 직접 보내지거나 파리에서 Abbé Mersenne(대학에서 데카르트의 동료 학생)에게 보내졌습니다. 후자는 그것들을 곱하여 비슷한 질문을 다루는 수학자들에게 보냈습니다. Fermat의 첫 번째 수학적 작업 중 하나는 Apollonius "On Flat Places"의 잃어버린 두 권의 책을 복원한 것입니다. 과학에 대한 페르마의 위대한 공헌은 일반적으로 그가 조금 더 일찍 수행한 것처럼 해석 기하학에 극소량을 도입한 것에서 볼 수 있습니다. 케플러 고대의 기하학에 대해. 그는 1629년의 가장 큰 양과 가장 작은 양에 대한 작업에서 이 중요한 단계를 밟았습니다. 이 작업은 페르마의 가장 중요한 일련의 연구 중 하나를 열었습니다. 이 작업은 일반적으로 고등 분석의 발전 역사에서 가장 큰 연결 고리 중 하나일 뿐만 아니라 또한 특히 극소수의 분석. 1636년대 말에 페르마는 극한과 접선을 구하는 방법을 발견했는데, 이는 현대적 관점에서 도함수를 구하는 것으로 귀결되었고, XNUMX년 이 방법의 완성된 표현은 메르센에 이관되어 모든 사람이 얻을 수 있었습니다. 그를 알게 되었다. Fermat 이전에 이탈리아 과학자 Cavalieri는 면적 계산을 위한 체계적인 방법을 개발했습니다. 그러나 이미 1642년에 페르마는 "포물선"과 "쌍곡선"으로 둘러싸인 면적을 계산하는 방법을 발견했습니다. 그는 무한한 숫자의 면적이 유한할 수 있음을 보여주었습니다. 페르마는 곡선을 곧게 펴는 문제, 즉 호의 길이를 계산하는 문제를 처음으로 해결한 사람 중 하나였습니다. 그는 이 문제를 일부 영역의 계산으로 줄일 수 있었습니다. 따라서 페르마의 '면적' 개념은 매우 추상적인 성격을 갖게 되었다. 곡선을 곧게 펴는 문제는 면적 결정으로 축소되었으며 단순한 면적 계산에 대한 대체를 통해 복잡한 면적 계산을 줄였습니다. 영역에서 "통합"이라는 훨씬 더 추상적인 개념으로 넘어가는 단계만 남았습니다. 페르마는 다른 많은 업적을 가지고 있습니다. 그는 먼저 좌표에 대한 아이디어를 얻었고 분석 기하학을 만들었습니다. 그는 또한 확률 이론의 문제를 다루었습니다. 그러나 Fermat는 수학에만 국한되지 않고 물리학도 공부하여 매체에서 빛의 전파 법칙을 발견했습니다. 증거가 부족함에도 불구하고(그 중 하나만 살아남음) 정수론 분야에서 Fermat의 작업의 중요성을 과대평가하기는 어렵습니다. 그는 혼자서 전체 고전 수 이론의 중심이 된 주요 문제인 정수의 속성을 연구 할 때 연구원 앞에서 즉시 발생하는 문제의 혼란과 특정 질문을 골라 냈습니다. 그는 또한 정수 이론 명제를 증명하기 위한 강력한 일반 방법, 즉 아래에서 논의될 소위 무한 또는 무한 하강 방법의 발견을 소유하고 있습니다. 따라서 Fermat는 당연히 정수론의 창시자로 간주될 수 있습니다. 18년 1640월 XNUMX일자 드 베시에게 보낸 편지에서 페르마는 다음과 같이 말했습니다. а 소수로 나눌 수 없는 р, 그런 표시가 있습니다 к그 а - 로 나눈 р, 여기서 k는 제수입니다. р-하나. 이 명제를 페르마의 작은 정리라고 합니다. 모든 기본 정수론의 기본입니다. 오일러 이 정리에 몇 가지 다른 증명을 제공했습니다. 그의 산술의 두 번째 책에서 Diophantus는 주어진 제곱을 두 개의 유리 제곱의 합으로 나타내는 작업을 설정했습니다. 여백에서 이 작업에 대해 Fermat는 다음과 같이 썼습니다. "반대로, 정육면체를 두 개의 입방체로 분해하거나 이등변을 두 개의 이등변으로 분해하는 것은 불가능하며 일반적으로 제곱보다 큰 거듭제곱을 동일한 지수를 갖는 두 거듭제곱으로 분해하는 것은 불가능합니다. 그러나 이 분야는 그에게 너무 좁습니다.” 이것이 그 유명한 대정리입니다. 이 정리에는 놀라운 운명이 있었습니다. 지난 세기에 그녀의 연구는 대수 계산과 관련된 가장 미묘하고 아름다운 이론의 구성으로 이어졌습니다. 근수에서 방정식을 푸는 문제 못지않게 정수론의 발전에 중요한 역할을 했다고 해도 과언이 아니다. 유일한 차이점은 후자는 이미 Galois에 의해 해결되었으며 대정리는 여전히 수학자에게 연구를 권장한다는 것입니다. 다른 한편으로, 이 정리의 공식화의 단순성과 그것의 "기적적인 증거"에 대한 수수께끼 같은 단어들은 비수학자들 사이에서 이 정리의 광범위한 인기를 이끌었고, Davenport의 말은 "수학적 능력을 훨씬 뛰어 넘는 용기를 가지십시오." 그러므로 대정리는 그것에 주어진 부정확한 증명의 수에 있어서 XNUMX위입니다. 페르마 자신은 XNUMX승에 대한 대정리의 증거를 남겼습니다. 여기에 그는 새로운 방법을 적용했습니다. 페르마는 "책에서 볼 수 있는 일반적인 방법으로는 어려운 명제를 증명하기에 충분하지 않았기 때문에 마침내 그것을 달성하는 매우 특별한 방법을 찾았습니다. 나는 이 증명 방법을 무한 또는 무한 하강이라고 불렀습니다."라고 썼습니다. 이 방법으로 정수론의 많은 명제가 증명되었고, 특히 오일러는 n=4에 대한 대정리(Fermat의 방법과 다소 다른 방식으로)와 20년 후에 n=에 대한 대정리를 증명했습니다. 삼. Fermat는 Karkavy에게 보낸 편지(1659년 XNUMX월)에서 이 방법을 다음과 같이 설명했습니다. "정수에 직각 삼각형이 있고 면적이 정사각형과 같다면 이것보다 작은 또 다른 삼각형이 있고 동일한 성질을 가질 것입니다. 두 번째가 있다면 첫 번째보다 작은 삼각형이 있을 것입니다. , 동일한 속성을 가지면 이 추론에 의해 동일한 속성을 갖는 두 번째보다 작은 XNUMX분의 XNUMX이 존재하고, 마지막으로 무한대로 내림차순으로 XNUMX분의 XNUMX가 존재할 것입니다. 가 주어지면 정수가 없다는 뜻입니다.) 따라서 정사각형 면적을 가진 직각 삼각형은 없다는 결론이 나옵니다. 페르마는 계속해서 많은 숙고 끝에 자신의 방법을 다른 긍정 명제의 증명에 적용할 수 있었다고 말합니다. I.G. Bashmakova는 "그러나 이 방법을 다른 명제의 증명에 적용하려면 각 숫자가 3제곱 이하의 합으로 표시될 수 있음을 증명하려면 "새로운 원칙"을 적용해야 합니다. 페르마는 n = 1879인 경우에 대한 대정리를 포함하여 하강법을 사용하여 페르마가 증명한 모든 정리의 목록입니다. 편지의 끝에서 페르마는 이 방법이 후대 수학자들에게 유용하고 "고대들은 모든 것을 알지 못했다", "안타깝게도 이 편지는 3년에야 출판되었다. 그러나 오일러는 별도의 언급에서 페르마의 방법을 복원하여 이를 부정한 분석 문제에 성공적으로 적용했다. 특히, 그는 또한 n = 1000에 대한 대정리의 증명을 소유하고 있습니다. 자연수의 세제곱을 두 세제곱의 합으로 분해할 수 없다는 것을 처음으로 증명하려는 시도가 아랍 동부에서 XNUMX년 경에 이루어졌음을 기억하십시오. 하강법은 A. Poincaré와 A. Weyl의 디오판틴 분석 연구에서 다시 주도적인 역할을 하기 시작했습니다. 현재 이 방법을 적용하기 위해 높이의 개념, 즉 자연수라는 개념을 도입하고 있으며, 이는 각각의 합리적 해에 어떤 식으로든 대응된다. 더욱이, 높이 A의 각 유리해에 대해 A보다 작은 높이의 다른 해가 있다는 것을 증명할 수 있다면, 이는 유리수 문제를 풀 수 없음을 의미합니다. 논문까지의 모든 후속 대수 이론 가우스 Fermat의 문제에서 시작하여 개발되었습니다. 5500세기에는 페르마의 마지막 정리와 상호성의 법칙에 관한 연구를 하기 위해 산술 분야의 확장이 필요했습니다. Kummer는 Fermat의 마지막 정리를 연구하는 동안 특정 종류의 대수 정수에 대한 산술을 구축했습니다. 이를 통해 그는 특정 부류의 소수 지수 n에 대한 대정리를 증명할 수 있었습니다. 현재 대정리의 유효성은 XNUMX 미만의 모든 지수 n에 대해 검증되었습니다. 우리는 또한 대정리가 대수론뿐만 아니라 현재 집중적으로 개발되고 있는 대수기하학과도 연결되어 있음을 주목합니다. 그러나 일반적인 형태의 대정리는 아직 증명되지 않았습니다. 따라서 우리는 여기서 새로운 아이디어와 방법의 출현을 기대할 권리가 있습니다. 저자: Samin D.K.
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