대수학의 기본 정리. 과학적 발견의 역사와 본질

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대수학의 기본 정리. 과학적 발견의 역사와 본질

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"명제 형태의 대수학의 기본 정리: 대수 방정식은 Girard와 데카르트, - 그의 책 "방정식의 세계에서" V.A. 니키포로프스키. - 실수 계수를 갖는 대수 다항식이 실수 선형 및 XNUMX차 인수의 곱으로 분해된다는 사실로 구성된 공식은 달랑베르에 속하며 오일러. 오일러는 1687년 1759월 1일자 Nicholas I Bernoulli(1742-XNUMX)에게 보낸 편지에서 이를 처음 보고했습니다. 이것으로부터 실수 계수를 갖는 대수 방정식의 근은 복소수 분야에 속하게 되었습니다.

정리의 첫 번째 증명은 1746년 달랑베르(1717–1783)에 의해 수행되었습니다. 그러나 대수학의 기본 정리에 대한 달랑베르의 증명은 대수가 아니라 분석적이었습니다. 프랑스 수학자는 극소수, 거듭제곱 급수와 같이 그 당시에 아직 형성되지 않은 분석 개념을 사용했습니다. 정리의 증명이 오류를 겪었고 나중에 엄청난 비판을 받은 것은 놀라운 일이 아닙니다. 가우스그리고는 잊혀졌다.

오일러는 대수학의 기본 정리의 증명에서 새롭고 중요한 단계를 수행했습니다.

레온하르트 오일러(1707~1783)는 바젤에서 태어났다. 홈 스쿨링을 마친 XNUMX세의 Leonard는 아버지에 의해 철학을 공부하기 위해 바젤 대학교로 보내졌습니다.

다른 과목들 중에서 요한 베르누이(Johann Bernoulli)가 가르치는 이 교수진에서 초등 수학 및 천문학을 공부했습니다. 베르누이는 곧 젊은 청취자의 재능을 알아차리고 따로 공부하기 시작했습니다.

1723년 석사 학위를 받은 후 데카르트와 철학의 철학을 라틴어로 연설한 후 뉴턴, Leonard는 아버지의 요청에 따라 동양 언어와 신학을 공부하기 시작했습니다. 그러나 그는 점점 더 수학에 매력을 느꼈다. Euler는 선생님의 집을 방문하기 시작했고 그와 Johann Bernoulli의 아들 인 Nikolai와 Daniel 사이에 Leonard의 삶에서 매우 중요한 역할을 한 우정이 생겼습니다.

1725년 베르누이 형제는 상트페테르부르크 과학 아카데미의 회원으로 초대되었습니다. 그들은 오일러가 러시아로 이사했다는 사실에 기여했습니다.

그의 생생한 서신 덕분에 종종 출판되기 오래 전에 알려지게 된 오일러의 발견은 그의 이름을 점점 더 널리 알려지게 했습니다. 과학아카데미에서의 그의 지위는 향상되어 1727년에 그는 겸임원, 즉 초급 학자로 일하기 시작했고, 1731년에는 물리학 교수, 즉 아카데미 정회원이 되었다. 1733년에 그는 이전에 그해 바젤로 돌아온 D. Bernoulli가 맡았던 고등 수학 학과장을 받았습니다. 오일러의 권위의 성장은 그의 스승 요한 베르누이가 그에게 보낸 편지에서 독특한 반영을 발견했습니다. 1728년에 Bernoulli는 "가장 학식 있고 재능 있는 청년 Leonhard Euler", 1737년에는 "가장 유명하고 재치 있는 수학자", 1745년에는 "비교할 수 없는 Leonhard Euler - 수학자의 머리"라고 언급했습니다.

1736년에 그의 분석 역학 두 권이 출간되었습니다. 이 책에 대한 수요는 컸다. 역학의 다양한 질문에 대한 많은 기사가 작성되었지만 역학에 대한 좋은 논문은 아직 없습니다.

1738년에는 산술 개론의 두 부분이 독일어로, 1739년에는 새로운 음악 이론이 등장했습니다.

1740년 말에 러시아의 권력은 섭정 Anna Leopoldovna와 그녀의 측근의 손에 넘어갔습니다. 수도에서 놀라운 상황이 발생했습니다. 이때 프로이센 왕 프리드리히 XNUMX세는 건국된 라이프니츠 베를린의 과학 학회(Society of Sciences)는 수년 동안 거의 활동하지 않았습니다. 왕은 상트페테르부르크의 대사를 통해 오일러를 베를린으로 초대했습니다. 오일러는 "상황이 다소 불확실해 보이기 시작했다"고 믿고 초청을 수락했습니다.

베를린에서 오일러는 처음에 주변에 작은 과학 협회를 모았고 새로 복원된 왕립 과학 아카데미에 초대되어 수학 부서의 학장으로 임명되었습니다. 1743년에 그는 XNUMX편의 회고록을 출판했으며 그 중 XNUMX편은 수학에 관한 것이었습니다. 그 중 한 작품은 두 가지 점에서 주목할 만하다. 유리수를 편분하여 적분하는 방법을 나타내고, 또한 현재 일반적으로 사용되는 고차 선형상방정식을 일정한 계수로 적분하는 방법을 설명합니다.

일반적으로 오일러의 작업 대부분은 분석에 전념합니다. 오일러는 무한소 분석, 함수 통합, 시리즈 이론, 미분 방정식의 전체 큰 부분을 단순화하고 보완하여 이미 그보다 먼저 시작된 미분 방정식을 거의 뒤에 남아있는 형태로 얻었습니다. 낮. 오일러는 또한 분석의 완전히 새로운 장인 변분법을 시작했습니다. 그의 이러한 이니셔티브는 곧 Lagrange에 의해 선택되었고 새로운 과학이 형성되었습니다.

대수학의 기본 정리에 대한 오일러의 증명은 1751년 "방정식의 허수근에 대한 조사"라는 작품에서 발표되었습니다.

오일러는 정리의 가장 대수적인 증명을 수행했습니다. 나중에 그의 주요 아이디어는 다른 수학자에 의해 반복되고 심화되었습니다. 따라서 방정식을 연구하는 방법은 Lagrange에 의해 처음 개발되었으며 Galois 이론의 필수적인 부분이 되었습니다.

주요 정리는 방정식의 모든 근이 복소수 분야에 속한다는 것입니다. 이 입장을 증명하기 위해 오일러는 실수 계수가 있는 모든 다항식이 실수 선형 또는 이차 인수의 곱으로 확장될 수 있음을 확인했습니다.

Nikiforovsky는 실수가 아닌 숫자의 값은 "Euler는 허수라고 부릅니다."라고 씁니다. "그리고 일반적으로 합과 곱의 쌍으로 실수를주는 것으로 간주된다고 지적했습니다. 따라서 2m 허수가 있다면 루트, 그러면 이것은 다항식 표현에서 m의 실수 XNUMX차 인수를 제공할 것입니다. 오일러는 다음과 같이 썼습니다. 그러나 내가 아는 한 아무도 이 의견의 진실성을 충분히 엄격하게 증명하지 못했습니다. 그러므로 나는 그에게 예외 없이 모든 경우를 포괄하는 증거를 제공하려고 노력할 것입니다."

Lagrange도 같은 개념을 가지고 있었고, 라플라스 그리고 오일러의 다른 추종자들. 가우스는 그녀의 말에 동의하지 않았습니다.

오일러는 연속 함수의 속성에서 이어지는 세 가지 정리를 공식화했습니다.

1. 홀수 차수 방정식에는 하나 이상의 실수근이 있습니다. 그러한 근이 하나 이상 있으면 그 수는 홀수입니다.

2. 짝수 차수의 방정식은 짝수 개의 실수근을 가지거나 전혀 갖지 않습니다.

3. 자유 항이 음수인 짝수 차수의 방정식은 서로 다른 부호의 실수근이 두 개 이상 있습니다.

이에 따라 오일러는 실수 계수를 갖는 다항식의 선형 및 XNUMX차 실수 인자로의 분해 가능성에 대한 정리를 증명했습니다...

주요 정리를 증명할 때 오일러는 대수 방정식의 두 가지 속성을 설정했습니다. 1) 루트 A의 가능한 모든 순열에 대해 서로 다른 값을 취하는 방정식 루트의 유리 함수는 차수 A의 방정식, 계수를 충족합니다. 그 중 주어진 방정식의 계수로 합리적으로 표현됩니다. 2) 방정식 근의 유리 함수가 근의 순열에 대해 불변(변경되지 않음)이면 원래 방정식의 계수로 합리적으로 표현됩니다.

추신 1795년 라플라스는 오일러와 라그랑주에 이어 수학 강의에서 다항식의 인수분해를 인정했습니다. 동시에, 라플라스는 그것들이 진짜일 것임을 증명합니다.

따라서 오일러, 라그랑주, 라플라스는 다항식의 인수분해 장의 존재를 가정하여 대수학의 기본 정리의 증명을 구축했습니다.

주요 정리의 증명에서 특별한 역할은 "수학자의 왕" Gauss에 속합니다.

Carl Friedrich Gauss는 Brunswick에서 태어났습니다(1777–1855). 그는 아버지의 친척에게서 좋은 건강을, 어머니의 친척에게서 밝은 지성을 물려 받았습니다. 칼 프리드리히는 1788세 때 캐서린 민속 학교에 입학했습니다. XNUMX년 가우스는 김나지움으로 옮겼다. 그러나 수학은 가르치지 않습니다. 여기에서 고전 언어를 공부합니다. Gauss는 언어 공부를 좋아하고 자신이 되고 싶은 것이 무엇인지조차 모를 정도로 발전하고 있습니다. 수학자 또는 언어학자입니다.

가우스는 법정에서 알려져 있습니다. 1791년에 그는 브라운슈바이크 공작 칼 빌헬름 페르디난트에게 헌정되었습니다. 소년은 궁전을 방문하고 세는 기술로 궁중을 즐겁게합니다. 공작의 후원 덕분에 가우스는 1795년 XNUMX월 괴팅겐 대학교에 입학할 수 있었습니다. 처음에 그는 철학 강의를 듣고 거의 수학 강의에 참석하지 않습니다. 그러나 이것이 그가 수학을 공부하지 않는다는 것을 의미하지는 않습니다.

1795년, 가우스는 정수에 대한 열정적인 관심을 받아들였습니다. 같은 해 가을, 가우스는 괴팅겐으로 이사하여 처음으로 그의 손에 들어온 문헌인 오일러와 라그랑주 작품을 말 그대로 삼켰습니다.

"30년 1796월 XNUMX일에 그에게 창조적 세례의 날이 옵니다. - F. Klein이 씁니다. - Gauss는 이미 "원시" 뿌리에 대한 그의 이론에 기초하여 화합에서 뿌리를 그룹화하는 데 이미 얼마 동안 종사해 왔습니다. 그리고 나서 어느 날 아침, 잠에서 깨어난 그는 XNUMX각형의 구성이 그의 이론에 따른다는 것을 갑자기 명확하고 뚜렷하게 깨달았습니다... 이 사건은 가우스의 인생에서 전환점이었습니다. 수학에."

가우스의 작업은 오랫동안 도달할 수 없는 수학적 발견의 예가 되었습니다. 비유클리드 기하학의 창시자 중 한 명인 야노스 볼랴이는 이것을 "우리 시대, 심지어 모든 시대를 통틀어 가장 빛나는 발견"이라고 불렀습니다. 이 발견을 이해하기 어려웠습니다! 1825차 방정식의 풀 수 없음을 급진적으로 증명한 노르웨이의 위대한 수학자 아벨이 고국에 보낸 편지 덕분에 우리는 그가 가우스 이론을 공부하면서 겪은 어려운 길을 알게 되었습니다. XNUMX년에 Abel은 독일에서 다음과 같이 썼습니다. 그것은 단순히 믿는 것입니다." Gauss가 Galois에도 영향을 미쳤다는 것은 의심의 여지가 없습니다.

가우스 자신은 생애 첫 발견에 대해 감동적인 사랑을 유지했습니다.

30년 1796월 8일, 정규 XNUMX십각형이 세워진 날, 가우스의 놀라운 발견에 대한 연대기인 가우스의 일기가 시작됩니다. 일기의 다음 항목은 XNUMX월 XNUMX일에 나타났습니다. 그것은 그가 "황금"이라고 불렀던 XNUMX 차 상호 법칙의 정리 증명에 대해보고했습니다. 이 주장의 특정 사례가 입증되었습니다. 농장, 오일러, 라그랑주. 오일러는 르장드르가 불완전한 증거를 제시한 일반적인 추측을 공식화했습니다. 8월 XNUMX일, 가우스는 오일러의 추측에 대한 완전한 증거를 발견했습니다. 그러나 Gauss는 그의 위대한 전임자들의 작업에 대해 아직 알지 못했습니다. 그는 "황금 정리"에 대한 모든 어려운 길을 스스로 걸었습니다!

Gauss는 10세가 되기 한 달 전인 단 19일 만에 두 가지 위대한 발견을 했습니다! "가우스 현상"의 가장 놀라운 측면 중 하나는 그의 첫 번째 작품에서 그는 실제로 그의 전임자들의 업적에 의존하지 않았고, XNUMX세기 반 동안 정수론에서 이루어졌던 것을 짧은 시간에 재발견했다는 것입니다. 최고의 수학자들의 작품.

1801년 가우스의 유명한 "산술 조사"가 나왔습니다. 이 방대한 책(500개 이상의 대형 포맷 페이지)에는 가우스의 주요 결과가 포함되어 있습니다. "산술 연구"는 정수론과 대수학의 발전에 큰 영향을 미쳤습니다. 상호성의 법칙은 여전히 대수 정수론에서 중심적인 위치 중 하나를 차지합니다.

브라운슈바이크에서 가우스는 산술 조사 작업에 필요한 문헌을 접할 기회가 없었습니다. 그래서 그는 좋은 도서관이 있는 근처의 헬름슈타트를 자주 여행했습니다. 여기에서 1798년 가우스는 대수학의 기본 정리의 증명에 관한 논문을 준비했습니다.

가우스는 대수학의 기본 정리에 대한 네 가지 증명을 남겼습니다. 그는 1799년에 출판된 그의 박사 학위 논문을 "하나의 불변량의 모든 합리적인 대수 함수는 XNUMX차 및 XNUMX차 실수 인자로 분해될 수 있다는 정리의 새로운 증명"이라는 제목의 첫 번째 증명에 할애했습니다.

가우스는 오일러의 간극에 주목하지 않고, 무엇보다 방정식의 근의 존재를 미리 가정했을 때 문제의 공식화 자체를 비판했다.

가우스의 첫 번째 증명은 달랑베르의 증명처럼 분석적이었습니다. 1815년 그가 수행한 두 번째 증명에서 유명한 수학자는 방정식의 근의 존재를 미리 가정했을 때 추론을 통해 대수 기본 정리의 증명에 대한 비판으로 다시 돌아왔습니다.

가우스는 도입부에서 새로운 증명의 필요성을 설명했습니다. 수학자들이 내가 이 매우 중요한 질문으로 다시 돌아가 완전히 다른 원리로부터 순전히 분석적인 원리에 기초하여 덜 엄격한 두 번째 증명의 구성을 착수하는 것을 바람직하지 않다고 생각하지 않기를 바랍니다. 가우스가 분석적 방법이라고 부르는 것을 오늘날 대수적 방법이라고 부르는 것에 주목해야 합니다.

증명을 위해 Gauss는 다항식의 확장 필드 구성을 사용했습니다. L Kronecker가 모든 다항식의 확장장을 구성하는 가우스 방법을 개선하고 개발한 지 1848년 이상이 지났습니다. 그 후, 가우스는 대수학의 기본 정리에 대한 두 가지 증명을 더 제시했습니다. 네 번째이자 마지막은 XNUMX년을 나타냅니다.

Euler, Lagrange 및 Gauss, I.G.의 대수 기본 정리 증명의 주요 결과. Bashmakov는 "대수학의 기본 정리에 대한 대수학 증명은 그 구현을 위해 대수학 자체의 새로운 심층 방법이 개발되었고 이미 생성된 방법 및 기술의 힘이 테스트되었기 때문에 정확하게 가치가 있습니다."라고 말했습니다.

저자: Samin D.K.

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