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가장 중요한 과학적 발견
비유클리드 기하학. 과학적 발견의 역사와 본질
에 유클리드의 정의 평행선은 같은 평면에 있고 아무리 연장해도 절대 만나지 않는 직선입니다. 그러나 이미 유클리드, Posidonius(기원전 II 세기), 쌍둥이자리(기원전 XNUMX세기), 프톨레마이오스(서기 II세기)의 가장 오래된 주석가들은 유클리드의 다섯 번째 가정이 유클리드의 다른 공리 및 공리와 동일한 증거를 갖는 것으로 간주하지 않았습니다. , 그리고 다른 조항의 결과로 그것을 추론하거나 Euclid가 제공한 병렬의 정의를 다른 정의로 대체하려고 했습니다. XNUMX세기 후반에 라이프니츠 유클리드의 주요 조항에 대해서도 비판적이다. 잘 알려진 바와 같이, 그는 또한 대수가 크기를 표현하는 것처럼 위치의 속성을 직접 표현하는 순수한 기하학적 분석을 구성하기를 원했습니다. 그러나 XNUMX세기 전반부에서야 그 아이디어가 평행선 문제에 적용되고 평행선 이론에서 그리스 수학자들이 자주 사용했던 모순에 의한 증명 방법을 체계적으로 수행하게 되었습니다. 이 훌륭한 아이디어는 Saccheri의 것입니다. 그의 죽음의 해에 등장한 작품 "Euclid, Delivered from Every Spot"에서 Saccheri는 밑면에 수직인 두 대변이 서로 동일한 사각형을 시작점으로 삼습니다. 그러한 사변형에서 등변과 밑변의 반대변이 이루는 각은 같고, 사변형의 이 성질의 증명은 유클리드의 가정에 의존하지 않는다. 직선이면 유클리드의 가정이 입증됩니다. 이 경우 삼각형 각도의 합은 두 개의 직각과 같기 때문입니다. 그러나 Saccheri(그리고 이것은 그의 독창적인 훌륭한 아이디어입니다)는 또한 예각의 가설과 둔각의 가설이라는 두 가지 다른 가설을 만들고 이러한 가설로부터 이어지는 결과를 추론하고 이러한 결과의 불가능성을 증명하려고 시도합니다. 직각에 대한 단 하나의 가설의 허용 가능성. 그는 둔각 가설이 모순으로 이어지기 때문에 유효하지 않다는 것을 쉽게 증명합니다. 예각 가설에서 동일한 모순을 발견하기 위해 그는 몇 가지 놀라운 정리를 추론하고 나중에 Legendre에 의해 다시 증명되었습니다. 예를 들어, 하나의 사변형에 대해 하나 또는 다른 또는 세 번째 가설이 유지되면 다른 것에 대해서도 유지되는 정리입니다. 등장 1766년 후인 XNUMX년, Lambert는 Saccheri와 같은 문제를 제기합니다. 두 개의 직각과 두 개의 동일한 변을 가진 사변형 대신에 Lambert는 세 개의 직각을 가진 사변형을 고려하고 네 번째 각에 대해 세 가지 가설을 세웁니다. 그의 설명은 Saccheri의 설명과 비교하여 몇 가지 특징이 있습니다. 그는 연속성에 기반한 논증에 의존하는 것을 피합니다. 둔각과 예각의 가설에서 그림의 유사성이 없다는 사실에서 Lambert는 절대 측정의 존재에 대한 결론을 추론합니다. 1799년 천재 수학자 칼 가우스 그는 Saccheri와 Lambert가 그보다 앞서 갔던 길을 따라갔습니다. 예각 가설의 모든 결과에 대한 체계적인 유도의 길을 따라갔습니다. 그러나 그의 반성은 유클리드의 공리를 증명할 가능성에 대한 의구심을 불러일으켰고 1816년까지 수학자는 그러한 증명이 불가능하다고 확신했습니다. 유클리드 공리의 증명불가능성에 대한 가우스의 여론은 영향력이 없었고 심지어 무례한 공격을 받기까지 했다. 이것이 그가 "보에오티아인들의 외침이 두려워"(27년 1829월 XNUMX일 베셀에게 보낸 편지) 재단 문제에 대한 자신의 연구와 생각을 출판하지 않기로 결정한 이유 중 하나였습니다. 그러나 그는 연구를 중단하지 않았으며 그의 연구 및 견해와 일치하는 작업과 생각을 가장 큰 관심과 동정으로 환영했습니다. 그가 이 길을 얼마나 걸었는지는 6년 1832월 1797일자 볼프강 볼야이에게 보낸 편지에서 알 수 있습니다. 여기에서 가우스는 1802년과 180년 사이에 요한 볼야이가 도달한 결과를 발견했다고 말했습니다. 예를 들어, 비유클리드 기하학에서 삼각형의 각도 합과 XNUMX도의 차이는 삼각형의 면적에 비례한다는 정리의 순수한 기하학적 증명입니다. Gauss의 학교 친구인 Wolfgang Bolyai는 평행선 이론에 큰 관심을 보였습니다. 1820년 그의 아들에게 보낸 편지에 따르면 이 특별한 관심은 그에게 삶의 모든 즐거움을 독살시켰고 기하학을 얼룩으로부터 해방시키고 "정결한 진리의 아름다움을 가리는 구름을 제거"하고자 하는 열망에 순교하게 만들었습니다. 그러나 그의 아버지는 일생의 거의 모든 노력을 다섯 번째 공리의 증명에 집중했고 목표를 달성하는 데 실패했지만 그의 재능 있는 아들은 비유클리드 기하학의 창시자 중 한 명이었습니다. 요한 볼야이는 1802년 클라우젠부르크에서 태어났습니다. 이미 1807년에 그의 아버지는 14세 때 이미 평면, 입체, 삼각법, 원뿔 단면을 공부했고 1818세에 이미 풀고 있던 소년의 비범한 수학적 능력에 대해 기쁨과 자부심으로 가우스에게 편지를 썼습니다. 미분 및 적분 미적분의 문제를 쉽게. 볼프강은 "수학 거상"으로 아들을 괴팅겐으로 보내지 않았고, 1823년에 요한은 비엔나 공학 아카데미에 입학하여 고등 수학에 많은 관심을 기울였습니다. XNUMX년에 그는 사관학교에서 과정을 마치고 군사 엔지니어로서 Temetvar 요새로 보내졌습니다. 거의 소년 시절에 비범한 수학적 능력을 소유한 요한이 아버지가 괴로워하던 문제를 풀기 위해 손을 뻗기로 결심한 것은 지극히 당연하다. 지구본의 크기. 1820년 요한은 이미 공리를 증명할 방법을 찾았다고 아버지에게 알리고, 아버지는 평행선 이론에 참여하지 말라고 경고하는 열띤 편지를 그에게 씁니다. 1823년 겨울 밤, 그는 한 점에서 직선으로 떨어지는 수직선의 길이와 이 수직선과 점근선(평행선)이 이루는 각 사이의 기본 관계를 발견했습니다. 로바체프스키), 이는 비유클리드 삼각법의 핵심입니다. 공리 XI의 증거로 가는 길을 열어주는 것처럼 보이는 발견에 열광한 그는 3월 XNUMX일 Temetvar에서 아버지에게 다음과 같이 씁니다. 지금 세워지고 있는 탑에 비하면 카드의 집에 불과하다." 1829년에 볼프강은 약 1829년 동안 작업한 방대한 수학 에세이를 완성했습니다. 이 책의 부록으로 요한 볼리아이의 불후의 작품도 출판되었다. 물론 Boliai는 동시에 먼 Kazan Lobachevsky가 그의 첫 번째 작품 "On the Principles of Geometry"(XNUMX)를 출판하고 있다고 의심하지 않았습니다. Nikolai Ivanovich Lobachevsky(1792–1856)는 니즈니노브고로드 지방의 마카리예프스키 지구에서 태어났습니다. 그의 아버지는 지역 건축가의 자리를 차지하고 빈약 한 내용을받은 소수의 하급 관리에 속했습니다. 1797년 그의 아버지가 사망하고 스물다섯 살 된 어머니가 아무런 수단도 없이 홀로 남겨지면서 그를 둘러싼 빈곤은 빈곤으로 바뀌었습니다. 1802년에 그녀는 세 아들을 카잔으로 데려와 카잔 체육관에 배정했고, 그곳에서 그녀의 중아들의 놀라운 능력은 금세 주목을 받았습니다. 1804년 카잔 체육관의 상급반이 대학으로 바뀌었을 때 자연과학부 학생 수에 로바초프스키가 포함되었다. 그 청년은 훌륭하게 공부했습니다. Lobachevsky는 우수한 교육을 받았습니다. 천문학에 관한 강의는 Litroff 교수가 낭독했습니다. 그는 칼 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss)와 같은 저명한 과학자의 제자인 바르텔스(Bartels) 교수의 수학 강의를 들었다. 이미 1811년에 Lobachevsky는 석사 학위를 받았고 교수직을 준비하기 위해 대학에 남겨졌습니다. 1814년에 Lobachevsky는 순수 수학 준회원이라는 칭호를 받았고 1816년에는 교수가 되었습니다. 1819년부터 Lobachevsky는 천문학을 가르쳤습니다. 과학자의 행정 활동은 그가 학장으로 선출된 1820년에 시작되었습니다. 단 한순간의 휴식도 남기지 않는 고된 실무 활동에도 불구하고 Lobachevsky는 과학 연구를 멈추지 않았으며 총장 재직 기간 동안 Kazan University의 Scientific Notes에 최고의 작품을 발표했습니다. Johann Bolyai가 그의 아버지의 영향으로 평행선 이론을 연구하기 시작했다면 Lobachevsky는이 이론에 대한 관심이 특히 XNUMX 세기 말과 XNUMX 세기 초에 되살아 났기 때문에 그것을 연구하기 시작할 수있었습니다. Lobachevsky의 첫 번째 작품이 등장하기 30주년이 되는 해에 평행선 이론에 관한 하나 이상의 작품이 등장하지 않고는 1813년이 지나지 않았습니다. 1827년부터 XNUMX년까지 독일어와 프랑스어로만 인쇄된 최대 XNUMX개의 작품이 알려져 있습니다. 르장드르의 연구는 러시아 수학자들 사이에서도 평행선 이론에 대한 관심을 불러일으켰습니다. 그의 출판된 작품인 CE로 러시아 수학 교육 역사상 명예로운 자리를 차지한 최초의 러시아 학자. Gur'ev는 1798년에 출판된 그의 가장 중요한 작업인 An Essay on the Improvement of the Elements of Geometry에서 평행선 이론과 Legendre가 제시한 증명에 특별한 주의를 기울였습니다. 이러한 증거를 비판하면서 Guriev는 자신의 증거를 제시합니다. 특정 조건에서 우리와 평행해 보이는 선이 교차할 수 있다는 주장을 바탕으로 Lobachevsky는 새롭고 일관된 기하학을 만드는 것이 가능하다는 결론에 도달했습니다. 현실 세계에서는 그 존재를 상상할 수 없었기 때문에 과학자는 그것을 "상상의 기하학"이라고 불렀습니다. 그러나 그는 I. Boliai와 같이 이 아이디어를 즉시 생각하지 않았습니다. 1815-1817년의 강의, 1823년의 기하학 교과서, 그리고 우리에게 전해지지 않은 "Exposition succincte des principes de la 기하학"은 12년 1826월 1823일 물리학 및 수학 부서 회의에서 읽었습니다. 평행선 이론 분야에서 Lobachevsky 생각의 세 단계입니다. 강의에서 그는 그것을 정당화하기 위해 세 가지 다른 방법을 제시합니다. XNUMX년의 한 교과서에서 그는 지금까지 주어진 모든 증명은 완전한 수학의 의미에서 존경받을 가치가 없다고 선언했고, 마침내 XNUMX년 후 그는 이미 유클리드의 가정과 다른 위치에서 기하학을 구성하는 시스템을 제공했습니다. , 그의 이름을 불후의 명물. "박람회"는 우리에게 도달하지 않았습니다. 그가 박람회에서 발췌한 것이라고 부르는 Lobachevsky의 첫 번째 인쇄 작업은 1829-1830년에 Kazan Vestnik에서 출판되었습니다. 이 날짜는 I. Boliai와 비교하여 Lobachevsky의 발견 출판의 우선 순위를 설정합니다. 후자의 "부록"이 1831년에 출판되었고 1832년에만 절판되었기 때문입니다. "Exposition"이라는 제목에서 알 수 있듯이 평행선의 정확한 이론뿐만 아니라 기하학의 원리에 대한 질문을 주제로 삼았습니다. I. Boliai와 Lobachevsky는 모두 이 발견을 위해 Hannover Academy of Sciences의 회원으로 선출되었지만 서유럽에서 시민권을 받은 것은 Lobachevsky의 기하학이었습니다. 1837년 Lobachevsky의 작품은 프랑스어로 출판되었습니다. 1840년에 그는 위대한 가우스의 인정을 받을 만한 그의 평행 이론을 독일어로 출판했습니다. 러시아에서 Lobachevsky는 그의 과학 작품에 대한 평가를 보지 못했습니다. 분명히 Lobachevsky의 연구는 동시대 사람들의 이해를 초월했습니다. 일부는 그를 무시했고, 다른 일부는 무례한 조롱과 꾸지람으로 그의 일을 환영했습니다. 우리의 다른 뛰어난 수학자들은 오스트로그라드스키 마땅한 명성을 얻었지만 아무도 Lobachevsky를 알지 못했습니다. Ostrogradsky 자신은 그를 조롱하거나 적대적으로 대했습니다. Lobachevsky의 기하학 별 기하학이라고 불리는 하나의 기하학이 아주 정확하거나 오히려 철저하게. 수천 년 동안 빛이 지구에 도달하는 별이 있다는 것을 기억하면 무한한 거리에 대한 아이디어를 형성 할 수 있습니다. 따라서 로바체프스키의 기하학은 유클리드의 기하학을 특정한 것이 아니라 특수한 경우로 포함한다. 이런 의미에서 첫 번째는 우리에게 알려진 기하학의 일반화라고 할 수 있습니다. 이제 질문이 생깁니다. Lobachevsky는 XNUMX차원의 발명품을 소유하고 있습니까? 전혀. XNUMX차원과 다차원의 기하학은 가우스의 제자인 독일 수학자 리만(Riemann)에 의해 만들어졌습니다. 일반적인 형태의 공간 속성에 대한 연구는 이제 비유클리드 기하학 또는 Lobachevsky 기하학을 구성합니다. Lobachevsky 공간은 Euclid의 가정이 발생하지 않는다는 점에서 우리와 다른 XNUMX 차원의 공간입니다. 이 공간의 속성은 이제 XNUMX차원을 가정하여 이해되고 있습니다. 그러나이 단계는 이미 Lobachevsky의 추종자들에게 속합니다. 당연히 그런 공간이 어디에 있느냐는 질문이 생깁니다. 그것에 대한 대답은 XX 세기의 가장 큰 물리학 자에 의해 주어졌습니다. 알버트 아인슈타인. Lobachevsky와 Riemann의 가정의 작업을 기반으로 그는 상대성 이론을 만들어 우리 공간의 곡률을 확인했습니다. 이 이론에 따르면 모든 물질 질량은 주변 공간을 휘게 합니다. 아인슈타인의 이론은 천문 관측에 의해 반복적으로 확인되었으며, 그 결과 Lobachevsky의 기하학이 우리 주변의 우주에 대한 근본적인 아이디어 중 하나라는 것이 분명해졌습니다. 저자: Samin D.K.
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