직사각형의 역설. 효과적인 트릭과 솔루션

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초점 설명:

부분들의 넓이를 합산하면 그림의 윗부분에 있는 삼각형 B와 C의 순열이 된다. 1은 XNUMX제곱 단위의 명백한 손실을 초래합니다.

직사각형으로 역설 초점 맞추기
Pic.1

이것은 음영 처리 된 부분의 영역 때문입니다. 그림 상단에는 15 개의 음영 처리 된 사각형이 있고 하단에는 16 개가 있습니다. 역설의 형태. 이제 우리는 5 부분으로 잘라낼 수있는 직사각형을 가지고 있으며, 그 다음 교체하고 새 직사각형을 만들고 선형 치수가 동일하게 유지된다는 사실에도 불구하고 면적이 2 제곱 단위 인 구멍이 있습니다. 내부에 나타납니다(그림 XNUMX).

직사각형으로 역설 초점 맞추기
Pic.2

외부 치수는 동일하지만 주변 내부에 구멍이 있는 한 그림을 다른 그림으로 변환할 수 있는 가능성은 다음을 기반으로 합니다. 점 X를 밑면에서 정확히 XNUMX단위, 직사각형 측면에서 XNUMX단위를 취하면 대각선이 통과하지 않습니다. 그러나 점 X와 직사각형의 반대 꼭짓점을 연결하는 폴리라인은 대각선에서 거의 벗어나지 않아 거의 감지할 수 없습니다. 그림의 아래쪽 절반에서 삼각형 B와 C를 교체한 후 그림의 일부가 대각선을 따라 약간 겹칩니다.

반면에 그림의 윗부분에서 직사각형의 반대쪽 정점을 연결하는 선을 정확히 그려진 대각선으로 간주하면 XW 선은 XNUMX 단위보다 약간 길어집니다. 결과적으로 두 번째 직사각형은 보이는 것보다 약간 더 높아질 것입니다. 첫 번째 경우 누락된 영역 단위는 모서리에서 모서리로 분산되고 대각선을 따라 겹침을 형성하는 것으로 간주할 수 있습니다. 두 번째 경우에는 누락된 사각형이 사각형의 너비에 걸쳐 분포됩니다. 우리가 이전의 것에서 이미 알고 있듯이, 이러한 종류의 모든 역설은 이 두 구성 옵션 중 하나에 기인할 수 있습니다. 두 경우 모두 수치의 부정확성이 너무 작아서 완전히 보이지 않습니다.

이 역설의 가장 우아한 형태는 부분의 재분배와 구멍의 형성 후에도 사각형으로 남아 있는 사각형입니다.

이러한 사각형은 무수한 변형으로 알려져 있으며 임의의 수의 사각형 단위의 구멍이 있습니다. 그 중 가장 흥미로운 몇 가지가 그림에 나와 있습니다. 3과 4.

직사각형으로 역설 초점 맞추기
Pic.3

직사각형으로 역설 초점 맞추기
Pic.4

구멍의 크기와 큰 삼각형의 비율을 연결하는 간단한 공식을 가리킬 수 있습니다. 논의할 세 가지 크기는 A, B 및 C로 표시합니다(그림 5).

직사각형으로 역설 초점 맞추기
Pic.5

제곱 단위의 구멍 면적은 A와 C의 곱과 크기 B의 가장 가까운 배수의 차이와 같습니다. 따라서 마지막 예에서 A와 C의 곱은 25입니다. 가장 가까운 배수는 크기 B에서 25는 24이므로 구멍은 5제곱 단위입니다. 이 규칙은 실제 대각선이 그려지는지 또는 그림의 점 X가 그려지는지 여부에 관계없이 적용됩니다. XNUMX는 정사각형 그리드의 선이 교차하는 부분에 깔끔하게 적용됩니다. 대각선이 정확히 직선으로 그려 지거나 점 X가 정사각형 격자의 꼭지점 중 하나에서 정확히 취해지면 역설이 발생하지 않습니다. 이 경우 공식은 구멍이 전혀 없음을 나타내는 제로 제곱 단위의 구멍을 제공합니다.

저자: M. 가드너

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