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가장 중요한 과학적 발견
그룹 이론. 과학적 발견의 역사와 본질
근의 순열 그룹은 Lagrange에 의해 더 일찍 처리되었으며 가우스. 그러나 개념의 본질적 속성을 공식화하여 새롭고 어려운 문제의 해결에 적용한 사람의 장점은 논쟁의 여지가 없습니다. 이것은 그룹의 개념을 위해 프랑스 수학자 Galois에 의해 수행되었습니다. 그의 연구 후에야 수학자들의 연구 주제가 되었습니다. Évariste Galois(1811-1832)는 Bourg-la-Reine에서 태어났습니다. 1823년, Evariste는 부모에 의해 파리의 Royal College에서 공부하도록 파견되었습니다. 여기에서 그는 수학에 관심을 갖게되어 Legendre, Euler, Lagrange, Gauss의 작품을 독립적으로 연구하기 시작했습니다. Lagrange의 아이디어는 Galois를 완전히 인수합니다. 아벨에게는 마치 XNUMX차 방정식의 해를 찾은 것처럼 보입니다. 그는 폴리 테크닉 학교에 입학하려고 시도했지만 르장드르와 라그랑주 작품에 대한 지식이 충분하지 않았고 갈루아는 대학으로 돌아 왔습니다. 여기서 행복은 처음으로 미소를 짓습니다. 그는 자신의 천재성을 인정할 수 있는 선생님을 만납니다. Richard는 공식 프로그램을 능가하는 방법을 알고 있었고 과학의 발전을 알고 있었고 학생들의 지평을 넓히려고 노력했습니다. Evariste에 대한 Richard의 의견은 간단합니다. "그는 수학의 상위 영역에서만 일합니다." 실제로 Galois는 이미 1829 세에 첫 번째 과학적 결과를 받았습니다. XNUMX년 그의 노트 "주기적인 연속 분수에 대한 정리의 증명"이 출판되었습니다. 동시에 Galois는 파리 과학 아카데미에 또 다른 연구를 발표했습니다. 그녀는 Kosha's에서 길을 잃었습니다. 갈루아는 폴리테크닉 학교에 다시 입학하려 하지만 다시 실패합니다. 여기에 곧 청년에게 충격을 준 사건이 추가되었습니다. 정치적 반대자들에게 쫓기고 그의 아버지는 자살했습니다. Evariste에게 닥친 불행은 필연적으로 그에게 영향을 미쳤습니다. 그는 긴장하고 화를 잘 냈습니다. 1829년 갈루아는 사범학교에 입학했다. 그것은 교사의 직함에 대한 후보자를 준비했습니다. 여기에서 Evarist는 대수 방정식 이론에 대한 연구를 완료하고 1830년 파리 과학 아카데미 대회에 그의 작품을 제출했으며 그의 운명은 아카데미의 영구 비서인 Fourier의 손에 달려 있었습니다. Fourier는 원고를 읽기 시작하지만 곧 죽습니다. 두 번째 원고는 첫 번째와 마찬가지로 사라집니다. Galois의 삶에서 중요한 사건으로 가득 찬 시간이 왔습니다. 그는 공화당에 가입하고 "인민 친구 모임"에 가입하고 방위군 포병에 등록했습니다. 지도부에 반대하는 발언을 했다는 이유로 그는 사범학교에서 퇴학당했다. 14년 1831월 23일 바스티유 습격의 다음 기념일을 기념하여 공화당의 현시가 일어났다. 경찰은 많은 시위대를 체포했으며 그 중에는 갈루아도 있었습니다. 갈루아의 재판은 1831년 9월 XNUMX일에 열렸다. 그는 징역 XNUMX개월을 선고받았다. 갈루아는 감옥에서 연구를 계속했습니다. 30년 1832월 XNUMX일 아침, 장틸리 마을에서 벌어진 결투에서 갈루아는 배에 총알을 맞아 치명상을 입었습니다. 그는 하루 만에 사망했습니다. Galois의 수학 작품, 적어도 살아남은 작품은 XNUMX페이지 분량입니다. 이렇게 적은 양의 작품이 작가에게 이렇게 큰 명성을 가져다준 적이 없었다. 1832년 갈루아는 감옥에 있는 동안 그가 죽은 지 XNUMX년 만에 출판된 프로그램을 작성합니다. 그러나 XNUMX세기 초에도 그다지 큰 관심을 끌지 못하고 곧 잊혀졌다. 여러 세대에 걸쳐 과학자들의 연구를 이어온 현대 수학자들만이 갈루아의 꿈을 마침내 실현했습니다. Galois는 그의 유명한 회고록을 시작했습니다. 그러나 Galois의 아이디어는 너무 심오하고 포괄적이어서 그 당시에는 과학자들이 그것을 감상하기가 정말 어려웠습니다. "... 그래서 저는 계산을 개선하여 얻은 단순화(물론 우리는 기술적인 단순화가 아니라 근본적인 단순화를 의미합니다)가 전혀 무제한이 아니라고 믿습니다. 수학자들이 대수적 변환을 그렇게 명확하게 예견할 수 있는 순간이 올 것이고, 그것들을 주의 깊게 수행하는 데 드는 시간과 종이의 지출은 갚지 않을 것입니다. 나는 분석이 그러한 선견지명을 넘어서는 새로운 것을 성취할 수 없다고 주장하지는 않지만, 그것이 없이는 어느 좋은 날 모든 수단이 헛될 것이라고 생각합니다. 계산을 당신의 의지에 따르고, 수학 연산을 그룹화하고, 외부 징후가 아닌 어려움의 정도에 따라 분류하는 법을 배우십시오. 이것은 내가 이해하는 미래 수학자의 과제입니다. 이것이 내가 원하는 길입니다. 가져가다. 내가 보여준 맹렬함과 계산을 전혀 피하려는 일부 수학자들의 열망을 아무도 혼동하지 않도록 하십시오. 대수 공식 대신 긴 인수를 사용하고 수학적 변환의 번거로움에 이러한 작업을 수행하는 데 적합하지 않은 언어를 사용하여 이러한 변환에 대한 구두 설명의 번거로움을 추가합니다. 이 수학자들은 XNUMX년 뒤쳐져 있습니다. 여기에서는 아무 일도 일어나지 않습니다. 여기에서 분석 분석을 하고 있습니다. 동시에, 현재 알려진 가장 복잡한 변환(타원 함수)은 매우 유용하고 심지어 필요한 특수한 경우로 간주되지만 여전히 일반적이지 않으므로 더 광범위한 연구를 거부하는 것은 치명적인 실수가 될 것입니다. 여기에 요약된 상위 분석에서 언급된 변환이 실제로 수행되고 여기서 발생하는 기능 유형이 아니라 난이도에 따라 분류될 때가 올 것입니다. 여기서 "그룹 수학 연산"이라는 단어에주의를 기울일 필요가 있습니다. Galois는 의심할 여지 없이 이것으로 그룹 이론을 의미합니다. 우선, Galois는 개별 수학적 문제에 관심이 없었지만 전체 고려 사슬을 결정하고 논리적 사고 과정을 안내하는 일반적인 아이디어에 관심이 있었습니다. 그의 증거는 그 당시에 달성한 모든 결과를 결합하고 앞으로 오랫동안 과학의 발전을 결정할 수 있는 심층 이론을 기반으로 합니다. 갈루아가 죽은 지 수십 년 후, 독일 수학자 다비드 힐베르트는 이 이론을 "특정한 개념 틀의 확립"이라고 불렀습니다. 그러나 이름이 무엇이든 간에 매우 넓은 지식 영역을 다루고 있음은 분명합니다. 갈루아는 "다른 과학과 마찬가지로 수학에도 바로 이 순간에 해결해야 할 질문이 있습니다. 이러한 문제는 자신의 의지와 의식에 상관없이 선진 사상가의 마음을 사로잡는 긴급한 문제입니다."라고 썼습니다. Évariste Galois가 작업한 문제 중 하나는 대수 방정식의 솔루션이었습니다. 수치 계수가 있는 방정식만 고려하면 어떻게 될까요? 결국, 그러한 방정식을 풀기 위한 일반 공식은 없지만 각 개별 방정식의 근은 근수(radicals)로 표현될 수 있습니다. 그렇지 않다면 어떻게 될까요? 그러면 이 방정식이 라디칼로 풀렸는지 여부를 결정할 수 있는 어떤 기호가 있어야 합니다. 이 표시는 무엇입니까? Galois의 첫 번째 발견은 의미의 불확실성 정도를 줄였다는 것입니다. 즉, 그는 이러한 뿌리의 "속성" 중 일부를 확립했습니다. 두 번째 발견은 Galois가 이 결과를 얻기 위해 사용한 방법과 관련이 있습니다. 방정식 자체를 연구하는 대신 Galois는 "그룹" 또는 비유적으로 말하면 "가족"을 연구했습니다. A. Dalma는 "그룹은 특정 공통 속성을 가진 개체의 모음입니다. 예를 들어 실수를 이러한 개체로 간주합니다. 실수 그룹의 일반적인 속성은 두 가지를 곱할 때 이 그룹의 요소는 또한 실수입니다. 실수 대신 기하학에서 연구된 평면의 움직임은 "객체"로 나타날 수 있습니다. 이 경우 그룹의 속성은 임의의 두 모션은 다시 모션을 제공합니다. 간단한 예제에서 더 복잡한 예제로 넘어가면 "객체"로 객체에 대한 일부 작업을 선택할 수 있습니다. 이 경우 그룹의 주요 속성은 두 작업의 구성도 동일하다는 것입니다. 갈루아가 연구한 것이 바로 이 경우입니다. 풀어야 할 방정식을 고려하여 그는 이 방정식을 특정 작업 그룹과 연관시켰고(불행히도 여기에서 이것이 어떻게 수행되는지 명확히 할 수 없음) 방정식이 그룹의 특성을 반영합니다. 서로 다른 방정식이 동일한 그룹을 가질 수 있으므로 이러한 방정식 대신 해당 그룹을 고려하는 것으로 충분합니다. 이 발견은 현대 수학 발전의 시작을 알렸습니다. 그룹이 구성되는 "객체"가 무엇이든: 숫자, 움직임 또는 작업 - 모두 특정 기능이 없는 추상 요소로 간주될 수 있습니다. 그룹을 정의하려면 주어진 "객체" 세트가 그룹이라고 부를 수 있도록 따라야 하는 일반 규칙을 공식화하기만 하면 됩니다. 현재 수학자들은 이러한 규칙을 그룹 공리라고 부르며 그룹 이론은 이러한 공리의 모든 논리적 결과를 나열하는 것으로 구성됩니다. 동시에 점점 더 많은 새로운 속성이 지속적으로 발견됩니다. 그것을 증명하는 수학자는 이론을 점점 더 심화시킵니다. 객체 자체나 객체에 대한 작업이 어떤 식으로든 지정되지 않는 것이 중요합니다. 그 후에 특정 문제를 연구할 때 그룹을 형성하는 몇 가지 특별한 수학적 또는 물리적 대상을 고려해야 하는 경우 일반 이론을 기반으로 해당 속성을 예측할 수 있습니다. 따라서 그룹 이론은 자금의 실질적인 절감을 제공합니다. 또한 연구 작업에 수학을 적용할 수 있는 새로운 가능성을 열어줍니다. 그룹 개념의 도입으로 수학자들은 다양한 이론을 고려해야 하는 부담스러운 의무에서 벗어날 수 있었습니다. 하나의 이론 또는 다른 이론의 "기본 기능"만 골라낼 필요가 있음이 밝혀졌으며 실제로는 모두 완전히 유사하기 때문에 동일한 단어로 지정하면 충분하며 즉시 명확 해집니다. 따로 연구하는 것은 무의미하다는 것입니다. Galois는 지나치게 자란 수학적 장치에 새로운 통합을 도입하려고 합니다. 그룹 이론은 무엇보다도 수학적 언어로 사물을 정리하는 것입니다. XNUMX세기 말부터 시작된 군론은 수학적 분석, 기하학, 역학, 마지막으로 물리학의 발전에 큰 영향을 미쳤습니다. 이후 수학의 다른 영역에 침투했습니다. 거짓말 그룹은 미분 방정식 이론에, Klein 그룹은 기하학에 나타났습니다. 또한 역학 및 그룹에서 갈릴레오 그룹이 발생했습니다. 로렌츠 상대성 이론에서. 저자: Samin D.K.
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