피보나치 수의 역설. 효과적인 트릭과 솔루션

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초점 설명:

그림을 구성하는 네 부분의 변의 길이(그림 1 및 2)는 피보나치 수열의 구성원입니다. 즉, 1, 1이라는 두 단위로 시작하는 일련의 숫자입니다. 세 번째는 이전 두 항목의 합계입니다. 행은 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...처럼 보입니다.

피보나치 수로 역설 초점 맞추기
Pic.1

피보나치 수로 역설 초점 맞추기
그림. 2

직사각형 형태로 사각형이 절단된 부분의 배열은 피보나치 수열의 속성 중 하나, 즉 다음을 설명합니다. 플러스 또는 마이너스 8이 얻어집니다. 이 예에서 정사각형의 한 변은 64이고 넓이는 5입니다. 피보나치 수열의 13은 5와 13 사이에 있습니다. 숫자 65와 XNUMX은 직사각형의 변의 길이가 되므로 넓이는 XNUMX와 같으면 면적이 한 단위 증가합니다.

이 수열의 속성 덕분에 한 변이 XNUMX보다 큰 피보나치 수인 정사각형을 만든 다음 이 수열의 앞선 두 수에 따라 자르는 것이 가능합니다.

예를 들어 13 x 13 단위의 정사각형을 취하면 세 변을 길이 5 단위와 8 단위로 나눈 다음 그림과 같이 잘라야 합니다. 2. 이 정사각형의 면적은 169평방 단위입니다. 정사각형 부분으로 형성된 직사각형의 변은 21과 8이 되어 168제곱 단위의 면적을 제공합니다. 여기서 대각선을 따라 부품이 겹치기 때문에 하나의 정사각형 단위가 추가되지 않고 손실됩니다.

한 변이 5인 정사각형을 취하면 3제곱 단위의 손실도 있습니다. 일반 규칙을 공식화하는 것도 가능합니다. 하나를 통해 위치한 피보나치 수열(8, 2, ...)의 "첫 번째" 하위 시퀀스에서 일부 숫자를 사각형의 측면에 가져오고 이 부분에서 사각형을 구성합니다. 정사각형, 우리는 대각선을 따라 틈을 얻었고 그 결과 면적이 한 단위 씩 명백하게 증가했습니다. "두 번째" 하위 시퀀스(5, 13, XNUMX, ...)에서 일부 숫자를 사각형의 측면으로 사용하면 사각형의 대각선을 따라 겹치는 영역과 XNUMX제곱 단위의 영역이 손실됩니다.

피보나치 수열을 따라 이동할수록 겹침이나 간격이 눈에 띄지 않게 됩니다. 반대로 행 아래로 내려갈수록 더 중요해집니다. 한 변이 두 단위인 정사각형에서도 역설을 만들 수 있습니다. 그러나 3x1 직사각형에는 역설의 효과가 완전히 사라지는 명백한 중첩이 있습니다.

역설에 다른 피보나치 수열을 사용하면 다음을 얻을 수 있습니다. 따라서 예를 들어 2, 4, 6, 10, 16, 26 등의 행을 기반으로 하는 사각형은 4제곱 단위의 면적 손실 또는 이득이 됩니다. 이러한 손실 또는 이득의 크기는 주어진 계열에 대해 해당 항의 제곱과 왼쪽과 오른쪽에 있는 인접한 두 항의 곱 사이의 차이를 계산하여 찾을 수 있습니다. 행 3,4,7, I, 18,29 등 XNUMX제곱 단위의 이득 또는 손실을 제공합니다.

T. de Moulidar는 시리즈 1, 4, 5, 9, 14 등을 기반으로 정사각형을 그렸습니다. 이 정사각형의 한 변은 9와 같으며 직사각형으로 변환한 후 11제곱 단위가 손실됩니다. . 행 2, 5, 7, 12, 19, ...도 11제곱 단위의 손실 또는 이득을 제공합니다. 두 경우 모두 대각선을 따라 겹치는 부분(또는 간격)이 너무 커서 즉시 볼 수 있습니다.

세 개의 연속 피보나치 수를 A, B, C와 X로 나타내면 면적 손실 또는 이득으로 다음 두 공식을 얻습니다.

A+B=C

B2=AC±X.

X를 원하는 이득 또는 손실로 대입하고 B를 사각형의 한 변의 길이로 취한 숫자로 대체하면 두 개의 다른 피보나치 수를 찾을 수 있는 이차 방정식을 만들 수 있습니다. 물론, 반드시 유리수일 필요는 없습니다. 예를 들어 정사각형을 변의 길이가 합리적인 도형으로 나누면 2~2제곱 단위의 증가 또는 손실을 얻을 수 없다는 것이 밝혀졌습니다. 무리수의 도움으로 이것은 물론 달성될 수 있습니다. 따라서 피보나치 수열 √2, 3√2, 5√3, 2√… .. 3제곱 단위의 이득 또는 손실이 발생합니다.

저자: M. 가드너

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